Integral von $$$\frac{1}{x - 1}$$$

Bestimme $$$\int \frac{1}{x - 1}\, dx$$$.

Sei $$$u=x - 1$$$.

Dann $$$du=\left(x - 1\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (die Schritte sind » zu sehen), und es gilt $$$dx = du$$$.

Das Integral lässt sich umschreiben als

$${\color{red}{\int{\frac{1}{x - 1} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}$$

Das Integral von $$$\frac{1}{u}$$$ ist $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

Zur Erinnerung: $$$u=x - 1$$$:

$$\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(x - 1\right)}}}\right| \right)}$$

Daher,

$$\int{\frac{1}{x - 1} d x} = \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)}$$

Fügen Sie die Integrationskonstante hinzu:

$$\int{\frac{1}{x - 1} d x} = \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{x - 1}\, dx = \ln\left(\left|{x - 1}\right|\right) + C$$$A