Integral von $$$\frac{4 t}{\sqrt{3 t^{2} - 7}}$$$

Bestimme $$$\int \frac{4 t}{\sqrt{3 t^{2} - 7}}\, dt$$$.

Sei $$$u=3 t^{2} - 7$$$.

Dann $$$du=\left(3 t^{2} - 7\right)^{\prime }dt = 6 t dt$$$ (die Schritte sind » zu sehen), und es gilt $$$t dt = \frac{du}{6}$$$.

Das Integral wird zu

$${\color{red}{\int{\frac{4 t}{\sqrt{3 t^{2} - 7}} d t}}} = {\color{red}{\int{\frac{2}{3 \sqrt{u}} d u}}}$$

Wende die Konstantenfaktorregel $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ mit $$$c=\frac{2}{3}$$$ und $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{\sqrt{u}}$$$ an:

$${\color{red}{\int{\frac{2}{3 \sqrt{u}} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{2 \int{\frac{1}{\sqrt{u}} d u}}{3}\right)}}$$

Wenden Sie die Potenzregel $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ mit $$$n=- \frac{1}{2}$$$ an:

$$\frac{2 {\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{u}} d u}}}}{3}=\frac{2 {\color{red}{\int{u^{- \frac{1}{2}} d u}}}}{3}=\frac{2 {\color{red}{\frac{u^{- \frac{1}{2} + 1}}{- \frac{1}{2} + 1}}}}{3}=\frac{2 {\color{red}{\left(2 u^{\frac{1}{2}}\right)}}}{3}=\frac{2 {\color{red}{\left(2 \sqrt{u}\right)}}}{3}$$

Zur Erinnerung: $$$u=3 t^{2} - 7$$$:

$$\frac{4 \sqrt{{\color{red}{u}}}}{3} = \frac{4 \sqrt{{\color{red}{\left(3 t^{2} - 7\right)}}}}{3}$$

Daher,

$$\int{\frac{4 t}{\sqrt{3 t^{2} - 7}} d t} = \frac{4 \sqrt{3 t^{2} - 7}}{3}$$

Fügen Sie die Integrationskonstante hinzu:

$$\int{\frac{4 t}{\sqrt{3 t^{2} - 7}} d t} = \frac{4 \sqrt{3 t^{2} - 7}}{3}+C$$

$$$\int \frac{4 t}{\sqrt{3 t^{2} - 7}}\, dt = \frac{4 \sqrt{3 t^{2} - 7}}{3} + C$$$A