Integral von $$$\left(u + v\right)^{c - 1}$$$ nach $$$u$$$

Bestimme $$$\int \left(u + v\right)^{c - 1}\, du$$$.

Sei $$$w=u + v$$$.

Dann $$$dw=\left(u + v\right)^{\prime }du = 1 du$$$ (die Schritte sind » zu sehen), und es gilt $$$du = dw$$$.

Also,

$${\color{red}{\int{\left(u + v\right)^{c - 1} d u}}} = {\color{red}{\int{w^{c - 1} d w}}}$$

Wenden Sie die Potenzregel $$$\int w^{n}\, dw = \frac{w^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ mit $$$n=c - 1$$$ an:

$${\color{red}{\int{w^{c - 1} d w}}}={\color{red}{\frac{w^{\left(c - 1\right) + 1}}{\left(c - 1\right) + 1}}}={\color{red}{\frac{w^{c}}{c}}}$$

Zur Erinnerung: $$$w=u + v$$$:

$$\frac{{\color{red}{w}}^{c}}{c} = \frac{{\color{red}{\left(u + v\right)}}^{c}}{c}$$

Daher,

$$\int{\left(u + v\right)^{c - 1} d u} = \frac{\left(u + v\right)^{c}}{c}$$

Fügen Sie die Integrationskonstante hinzu:

$$\int{\left(u + v\right)^{c - 1} d u} = \frac{\left(u + v\right)^{c}}{c}+C$$

$$$\int \left(u + v\right)^{c - 1}\, du = \frac{\left(u + v\right)^{c}}{c} + C$$$A