Integral von $$$\frac{e^{- x}}{5}$$$

Bestimme $$$\int \frac{e^{- x}}{5}\, dx$$$.

Wende die Konstantenfaktorregel $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ mit $$$c=\frac{1}{5}$$$ und $$$f{\left(x \right)} = e^{- x}$$$ an:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{- x}}{5} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{- x} d x}}{5}\right)}}$$

Sei $$$u=- x$$$.

Dann $$$du=\left(- x\right)^{\prime }dx = - dx$$$ (die Schritte sind » zu sehen), und es gilt $$$dx = - du$$$.

Also,

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{- x} d x}}}}{5} = \frac{{\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}}{5}$$

Wende die Konstantenfaktorregel $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ mit $$$c=-1$$$ und $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ an:

$$\frac{{\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}}{5} = \frac{{\color{red}{\left(- \int{e^{u} d u}\right)}}}{5}$$

Das Integral der Exponentialfunktion lautet $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$- \frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{5} = - \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{5}$$

Zur Erinnerung: $$$u=- x$$$:

$$- \frac{e^{{\color{red}{u}}}}{5} = - \frac{e^{{\color{red}{\left(- x\right)}}}}{5}$$

Daher,

$$\int{\frac{e^{- x}}{5} d x} = - \frac{e^{- x}}{5}$$

Fügen Sie die Integrationskonstante hinzu:

$$\int{\frac{e^{- x}}{5} d x} = - \frac{e^{- x}}{5}+C$$

$$$\int \frac{e^{- x}}{5}\, dx = - \frac{e^{- x}}{5} + C$$$A