Integral von $$$\frac{x - 3}{x}$$$

Bestimme $$$\int \frac{x - 3}{x}\, dx$$$.

Expand the expression:

$${\color{red}{\int{\frac{x - 3}{x} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(1 - \frac{3}{x}\right)d x}}}$$

Gliedweise integrieren:

$${\color{red}{\int{\left(1 - \frac{3}{x}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{1 d x} - \int{\frac{3}{x} d x}\right)}}$$

Wenden Sie die Konstantenregel $$$\int c\, dx = c x$$$ mit $$$c=1$$$ an:

$$- \int{\frac{3}{x} d x} + {\color{red}{\int{1 d x}}} = - \int{\frac{3}{x} d x} + {\color{red}{x}}$$

Wende die Konstantenfaktorregel $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ mit $$$c=3$$$ und $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$$$ an:

$$x - {\color{red}{\int{\frac{3}{x} d x}}} = x - {\color{red}{\left(3 \int{\frac{1}{x} d x}\right)}}$$

Das Integral von $$$\frac{1}{x}$$$ ist $$$\int{\frac{1}{x} d x} = \ln{\left(\left|{x}\right| \right)}$$$:

$$x - 3 {\color{red}{\int{\frac{1}{x} d x}}} = x - 3 {\color{red}{\ln{\left(\left|{x}\right| \right)}}}$$

Daher,

$$\int{\frac{x - 3}{x} d x} = x - 3 \ln{\left(\left|{x}\right| \right)}$$

Fügen Sie die Integrationskonstante hinzu:

$$\int{\frac{x - 3}{x} d x} = x - 3 \ln{\left(\left|{x}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{x - 3}{x}\, dx = \left(x - 3 \ln\left(\left|{x}\right|\right)\right) + C$$$A