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Ableitung von $$$x^{2 x}$$$
Verwandter Rechner: Ableitungsrechner
Ihre Eingabe
Bestimme $$$\frac{d}{dx} \left(x^{2 x}\right)$$$.
Lösung
Sei $$$H{\left(x \right)} = x^{2 x}$$$.
Logarithmieren Sie beide Seiten: $$$\ln\left(H{\left(x \right)}\right) = \ln\left(x^{2 x}\right)$$$.
Schreibe die rechte Seite mithilfe der Logarithmengesetze um: $$$\ln\left(H{\left(x \right)}\right) = 2 x \ln\left(x\right)$$$.
Leite beide Seiten der Gleichung getrennt ab: $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{d}{dx} \left(2 x \ln\left(x\right)\right)$$$.
Leite die linke Seite der Gleichung ab.
Die Funktion $$$\ln\left(H{\left(x \right)}\right)$$$ ist die Komposition $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ der beiden Funktionen $$$f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right)$$$ und $$$g{\left(x \right)} = H{\left(x \right)}$$$.
Wende die Kettenregel $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ an:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) \frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)\right)}$$Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist $$$\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)$$Zurück zur ursprünglichen Variable:
$$\frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(u\right)}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(H{\left(x \right)}\right)}}$$Somit gilt $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{H{\left(x \right)}}$$$.
Leite die rechte Seite der Gleichung ab.
Wende die Konstantenfaktorregel $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ mit $$$c = 2$$$ und $$$f{\left(x \right)} = x \ln\left(x\right)$$$ an:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(2 x \ln\left(x\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(2 \frac{d}{dx} \left(x \ln\left(x\right)\right)\right)}$$Wende die Produktregel $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)} g{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right) g{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ mit $$$f{\left(x \right)} = x$$$ und $$$g{\left(x \right)} = \ln\left(x\right)$$$ an:
$$2 {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x \ln\left(x\right)\right)\right)} = 2 {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right) \ln\left(x\right) + x \frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)\right)}$$Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) = \frac{1}{x}$$$:
$$2 x {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)\right)} + 2 \ln\left(x\right) \frac{d}{dx} \left(x\right) = 2 x {\color{red}\left(\frac{1}{x}\right)} + 2 \ln\left(x\right) \frac{d}{dx} \left(x\right)$$Wenden Sie die Potenzregel $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ mit $$$n = 1$$$ an, mit anderen Worten, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$2 \ln\left(x\right) {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} + 2 = 2 \ln\left(x\right) {\color{red}\left(1\right)} + 2$$Somit gilt $$$\frac{d}{dx} \left(2 x \ln\left(x\right)\right) = 2 \ln\left(x\right) + 2$$$.
Somit gilt $$$\frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{H{\left(x \right)}} = 2 \ln\left(x\right) + 2$$$.
Daher $$$\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right) = \left(2 \ln\left(x\right) + 2\right) H{\left(x \right)} = 2 x^{2 x} \left(\ln\left(x\right) + 1\right)$$$.
Antwort
$$$\frac{d}{dx} \left(x^{2 x}\right) = 2 x^{2 x} \left(\ln\left(x\right) + 1\right)$$$A