|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Funktion $$$x^{2 x}$$$ derivaatta
Aiheeseen liittyvä laskin: Derivointilaskin
Syötteesi
Määritä $$$\frac{d}{dx} \left(x^{2 x}\right)$$$.
Ratkaisu
Olkoon $$$H{\left(x \right)} = x^{2 x}$$$.
Ota logaritmi yhtälön molemmilta puolilta: $$$\ln\left(H{\left(x \right)}\right) = \ln\left(x^{2 x}\right)$$$.
Kirjoita oikea puoli uudelleen logaritmien ominaisuuksia käyttäen: $$$\ln\left(H{\left(x \right)}\right) = 2 x \ln\left(x\right)$$$.
Derivoi erikseen yhtälön molemmat puolet: $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{d}{dx} \left(2 x \ln\left(x\right)\right)$$$.
Derivoi yhtälön vasen puoli.
Funktio $$$\ln\left(H{\left(x \right)}\right)$$$ on kahden funktion $$$f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right)$$$ ja $$$g{\left(x \right)} = H{\left(x \right)}$$$ yhdistelmä $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$.
Sovella ketjusääntöä $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) \frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)\right)}$$Luonnollisen logaritmin derivaatta on $$$\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)$$Palaa alkuperäiseen muuttujaan:
$$\frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(u\right)}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(H{\left(x \right)}\right)}}$$Näin ollen, $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{H{\left(x \right)}}$$$.
Derivoi yhtälön oikea puoli.
Sovella vakion kerroinsääntöä $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ käyttäen $$$c = 2$$$ ja $$$f{\left(x \right)} = x \ln\left(x\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(2 x \ln\left(x\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(2 \frac{d}{dx} \left(x \ln\left(x\right)\right)\right)}$$Sovella tulon derivointisääntöä $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)} g{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right) g{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ funktioille $$$f{\left(x \right)} = x$$$ ja $$$g{\left(x \right)} = \ln\left(x\right)$$$:
$$2 {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x \ln\left(x\right)\right)\right)} = 2 {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right) \ln\left(x\right) + x \frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)\right)}$$Luonnollisen logaritmin derivaatta on $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) = \frac{1}{x}$$$:
$$2 x {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)\right)} + 2 \ln\left(x\right) \frac{d}{dx} \left(x\right) = 2 x {\color{red}\left(\frac{1}{x}\right)} + 2 \ln\left(x\right) \frac{d}{dx} \left(x\right)$$Sovella potenssisääntöä $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ käyttäen $$$n = 1$$$, toisin sanoen, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$2 \ln\left(x\right) {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} + 2 = 2 \ln\left(x\right) {\color{red}\left(1\right)} + 2$$Näin ollen, $$$\frac{d}{dx} \left(2 x \ln\left(x\right)\right) = 2 \ln\left(x\right) + 2$$$.
Tästä seuraa, että $$$\frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{H{\left(x \right)}} = 2 \ln\left(x\right) + 2$$$.
Siispä $$$\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right) = \left(2 \ln\left(x\right) + 2\right) H{\left(x \right)} = 2 x^{2 x} \left(\ln\left(x\right) + 1\right)$$$.
Vastaus
$$$\frac{d}{dx} \left(x^{2 x}\right) = 2 x^{2 x} \left(\ln\left(x\right) + 1\right)$$$A