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Dérivée de $$$x^{2 x}$$$
Calculatrice associée: Calculatrice de dérivées
Votre saisie
Déterminez $$$\frac{d}{dx} \left(x^{2 x}\right)$$$.
Solution
Soit $$$H{\left(x \right)} = x^{2 x}$$$.
Prenez le logarithme des deux membres : $$$\ln\left(H{\left(x \right)}\right) = \ln\left(x^{2 x}\right)$$$.
Réécrivez le second membre en utilisant les propriétés des logarithmes : $$$\ln\left(H{\left(x \right)}\right) = 2 x \ln\left(x\right)$$$
Dérivez séparément les deux membres de l’équation : $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{d}{dx} \left(2 x \ln\left(x\right)\right)$$$.
Dérivez le membre gauche de l’équation.
La fonction $$$\ln\left(H{\left(x \right)}\right)$$$ est la composée $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ de deux fonctions $$$f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right)$$$ et $$$g{\left(x \right)} = H{\left(x \right)}$$$.
Appliquez la règle de la chaîne $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) \frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)\right)}$$La dérivée du logarithme naturel est $$$\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}$$$ :
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)$$Revenir à la variable initiale:
$$\frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(u\right)}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(H{\left(x \right)}\right)}}$$Ainsi, $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{H{\left(x \right)}}$$$.
Dérivez le membre de droite de l’équation.
Appliquez la règle du facteur constant $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ avec $$$c = 2$$$ et $$$f{\left(x \right)} = x \ln\left(x\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(2 x \ln\left(x\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(2 \frac{d}{dx} \left(x \ln\left(x\right)\right)\right)}$$Appliquez la règle du produit $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)} g{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right) g{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ avec $$$f{\left(x \right)} = x$$$ et $$$g{\left(x \right)} = \ln\left(x\right)$$$ :
$$2 {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x \ln\left(x\right)\right)\right)} = 2 {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right) \ln\left(x\right) + x \frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)\right)}$$La dérivée du logarithme naturel est $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) = \frac{1}{x}$$$ :
$$2 x {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)\right)} + 2 \ln\left(x\right) \frac{d}{dx} \left(x\right) = 2 x {\color{red}\left(\frac{1}{x}\right)} + 2 \ln\left(x\right) \frac{d}{dx} \left(x\right)$$Appliquez la règle de puissance $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ avec $$$n = 1$$$, en d'autres termes, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$2 \ln\left(x\right) {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} + 2 = 2 \ln\left(x\right) {\color{red}\left(1\right)} + 2$$Ainsi, $$$\frac{d}{dx} \left(2 x \ln\left(x\right)\right) = 2 \ln\left(x\right) + 2$$$.
Ainsi, $$$\frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{H{\left(x \right)}} = 2 \ln\left(x\right) + 2$$$.
Donc, $$$\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right) = \left(2 \ln\left(x\right) + 2\right) H{\left(x \right)} = 2 x^{2 x} \left(\ln\left(x\right) + 1\right)$$$.
Réponse
$$$\frac{d}{dx} \left(x^{2 x}\right) = 2 x^{2 x} \left(\ln\left(x\right) + 1\right)$$$A