$$$t e^{5}$$$ 的積分

求$$$\int t e^{5}\, dt$$$。

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$，使用 $$$c=e^{5}$$$ 與 $$$f{\left(t \right)} = t$$$：

$${\color{red}{\int{t e^{5} d t}}} = {\color{red}{e^{5} \int{t d t}}}$$

套用冪次法則 $$$\int t^{n}\, dt = \frac{t^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=1$$$：

$$e^{5} {\color{red}{\int{t d t}}}=e^{5} {\color{red}{\frac{t^{1 + 1}}{1 + 1}}}=e^{5} {\color{red}{\left(\frac{t^{2}}{2}\right)}}$$

因此，

$$\int{t e^{5} d t} = \frac{t^{2} e^{5}}{2}$$

加上積分常數：

$$\int{t e^{5} d t} = \frac{t^{2} e^{5}}{2}+C$$

$$$\int t e^{5}\, dt = \frac{t^{2} e^{5}}{2} + C$$$A