$$$t e^{5}$$$の積分

$$$\int t e^{5}\, dt$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ を、$$$c=e^{5}$$$ と $$$f{\left(t \right)} = t$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{t e^{5} d t}}} = {\color{red}{e^{5} \int{t d t}}}$$

$$$n=1$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int t^{n}\, dt = \frac{t^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$e^{5} {\color{red}{\int{t d t}}}=e^{5} {\color{red}{\frac{t^{1 + 1}}{1 + 1}}}=e^{5} {\color{red}{\left(\frac{t^{2}}{2}\right)}}$$

したがって、

$$\int{t e^{5} d t} = \frac{t^{2} e^{5}}{2}$$

積分定数を加える:

$$\int{t e^{5} d t} = \frac{t^{2} e^{5}}{2}+C$$

$$$\int t e^{5}\, dt = \frac{t^{2} e^{5}}{2} + C$$$A