$$$e^{3 x}$$$ 的積分

求$$$\int e^{3 x}\, dx$$$。

令 $$$u=3 x$$$。

則 $$$du=\left(3 x\right)^{\prime }dx = 3 dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = \frac{du}{3}$$$。

該積分變為

$${\color{red}{\int{e^{3 x} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{3} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{3}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{3} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{3}\right)}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{3} = \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{3}$$

回顧一下 $$$u=3 x$$$：

$$\frac{e^{{\color{red}{u}}}}{3} = \frac{e^{{\color{red}{\left(3 x\right)}}}}{3}$$

因此，

$$\int{e^{3 x} d x} = \frac{e^{3 x}}{3}$$

加上積分常數：

$$\int{e^{3 x} d x} = \frac{e^{3 x}}{3}+C$$

$$$\int e^{3 x}\, dx = \frac{e^{3 x}}{3} + C$$$A