$$$e^{3 x}$$$ 的积分

求$$$\int e^{3 x}\, dx$$$。

设$$$u=3 x$$$。

则$$$du=\left(3 x\right)^{\prime }dx = 3 dx$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = \frac{du}{3}$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{e^{3 x} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{3} d u}}}$$

对 $$$c=\frac{1}{3}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{3} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{3}\right)}}$$

指数函数的积分为 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{3} = \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{3}$$

回忆一下 $$$u=3 x$$$:

$$\frac{e^{{\color{red}{u}}}}{3} = \frac{e^{{\color{red}{\left(3 x\right)}}}}{3}$$

因此，

$$\int{e^{3 x} d x} = \frac{e^{3 x}}{3}$$

加上积分常数：

$$\int{e^{3 x} d x} = \frac{e^{3 x}}{3}+C$$

$$$\int e^{3 x}\, dx = \frac{e^{3 x}}{3} + C$$$A