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$$$2 x^{3} \sqrt{x^{5}}$$$ 的積分
您的輸入
求$$$\int 2 x^{3} \sqrt{x^{5}}\, dx$$$。
解答
已將輸入重寫為：$$$\int{2 x^{3} \sqrt{x^{5}} d x}=\int{2 x^{\frac{11}{2}} d x}$$$。
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=2$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = x^{\frac{11}{2}}$$$：
$${\color{red}{\int{2 x^{\frac{11}{2}} d x}}} = {\color{red}{\left(2 \int{x^{\frac{11}{2}} d x}\right)}}$$
套用冪次法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=\frac{11}{2}$$$：
$$2 {\color{red}{\int{x^{\frac{11}{2}} d x}}}=2 {\color{red}{\frac{x^{1 + \frac{11}{2}}}{1 + \frac{11}{2}}}}=2 {\color{red}{\left(\frac{2 x^{\frac{13}{2}}}{13}\right)}}$$
因此，
$$\int{2 x^{\frac{11}{2}} d x} = \frac{4 x^{\frac{13}{2}}}{13}$$
加上積分常數：
$$\int{2 x^{\frac{11}{2}} d x} = \frac{4 x^{\frac{13}{2}}}{13}+C$$
答案
$$$\int 2 x^{3} \sqrt{x^{5}}\, dx = \frac{4 x^{\frac{13}{2}}}{13} + C$$$A