$$$2 x^{3} \sqrt{x^{5}}$$$の積分

$$$\int 2 x^{3} \sqrt{x^{5}}\, dx$$$ を求めよ。

入力は次のように書き換えられます: $$$\int{2 x^{3} \sqrt{x^{5}} d x}=\int{2 x^{\frac{11}{2}} d x}$$$。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=2$$$ と $$$f{\left(x \right)} = x^{\frac{11}{2}}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{2 x^{\frac{11}{2}} d x}}} = {\color{red}{\left(2 \int{x^{\frac{11}{2}} d x}\right)}}$$

$$$n=\frac{11}{2}$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$2 {\color{red}{\int{x^{\frac{11}{2}} d x}}}=2 {\color{red}{\frac{x^{1 + \frac{11}{2}}}{1 + \frac{11}{2}}}}=2 {\color{red}{\left(\frac{2 x^{\frac{13}{2}}}{13}\right)}}$$

したがって、

$$\int{2 x^{\frac{11}{2}} d x} = \frac{4 x^{\frac{13}{2}}}{13}$$

積分定数を加える:

$$\int{2 x^{\frac{11}{2}} d x} = \frac{4 x^{\frac{13}{2}}}{13}+C$$

$$$\int 2 x^{3} \sqrt{x^{5}}\, dx = \frac{4 x^{\frac{13}{2}}}{13} + C$$$A