$$$y^{23} \left(x + y\right)$$$ 對 $$$x$$$ 的積分

求$$$\int y^{23} \left(x + y\right)\, dx$$$。

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=y^{23}$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = x + y$$$：

$${\color{red}{\int{y^{23} \left(x + y\right) d x}}} = {\color{red}{y^{23} \int{\left(x + y\right)d x}}}$$

逐項積分：

$$y^{23} {\color{red}{\int{\left(x + y\right)d x}}} = y^{23} {\color{red}{\left(\int{x d x} + \int{y d x}\right)}}$$

套用冪次法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=1$$$：

$$y^{23} \left(\int{y d x} + {\color{red}{\int{x d x}}}\right)=y^{23} \left(\int{y d x} + {\color{red}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}}}\right)=y^{23} \left(\int{y d x} + {\color{red}{\left(\frac{x^{2}}{2}\right)}}\right)$$

配合 $$$c=y$$$，應用常數法則 $$$\int c\, dx = c x$$$：

$$y^{23} \left(\frac{x^{2}}{2} + {\color{red}{\int{y d x}}}\right) = y^{23} \left(\frac{x^{2}}{2} + {\color{red}{x y}}\right)$$

因此，

$$\int{y^{23} \left(x + y\right) d x} = y^{23} \left(\frac{x^{2}}{2} + x y\right)$$

化簡：

$$\int{y^{23} \left(x + y\right) d x} = \frac{x y^{23} \left(x + 2 y\right)}{2}$$

加上積分常數：

$$\int{y^{23} \left(x + y\right) d x} = \frac{x y^{23} \left(x + 2 y\right)}{2}+C$$

$$$\int y^{23} \left(x + y\right)\, dx = \frac{x y^{23} \left(x + 2 y\right)}{2} + C$$$A