$$$x^{2} e^{x^{3} - 5}$$$ 的積分

求$$$\int x^{2} e^{x^{3} - 5}\, dx$$$。

令 $$$u=x^{3} - 5$$$。

則 $$$du=\left(x^{3} - 5\right)^{\prime }dx = 3 x^{2} dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$x^{2} dx = \frac{du}{3}$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{x^{2} e^{x^{3} - 5} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{3} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{3}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{3} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{3}\right)}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{3} = \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{3}$$

回顧一下 $$$u=x^{3} - 5$$$：

$$\frac{e^{{\color{red}{u}}}}{3} = \frac{e^{{\color{red}{\left(x^{3} - 5\right)}}}}{3}$$

因此，

$$\int{x^{2} e^{x^{3} - 5} d x} = \frac{e^{x^{3} - 5}}{3}$$

加上積分常數：

$$\int{x^{2} e^{x^{3} - 5} d x} = \frac{e^{x^{3} - 5}}{3}+C$$

$$$\int x^{2} e^{x^{3} - 5}\, dx = \frac{e^{x^{3} - 5}}{3} + C$$$A