Integralen av $$$x^{2} e^{x^{3} - 5}$$$

Bestäm $$$\int x^{2} e^{x^{3} - 5}\, dx$$$.

Låt $$$u=x^{3} - 5$$$ vara.

Då $$$du=\left(x^{3} - 5\right)^{\prime }dx = 3 x^{2} dx$$$ (stegen kan ses »), och vi har att $$$x^{2} dx = \frac{du}{3}$$$.

Alltså,

$${\color{red}{\int{x^{2} e^{x^{3} - 5} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{3} d u}}}$$

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ med $$$c=\frac{1}{3}$$$ och $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{3} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{3}\right)}}$$

Integralen av den exponentiella funktionen är $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{3} = \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{3}$$

Kom ihåg att $$$u=x^{3} - 5$$$:

$$\frac{e^{{\color{red}{u}}}}{3} = \frac{e^{{\color{red}{\left(x^{3} - 5\right)}}}}{3}$$

Alltså,

$$\int{x^{2} e^{x^{3} - 5} d x} = \frac{e^{x^{3} - 5}}{3}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{x^{2} e^{x^{3} - 5} d x} = \frac{e^{x^{3} - 5}}{3}+C$$

$$$\int x^{2} e^{x^{3} - 5}\, dx = \frac{e^{x^{3} - 5}}{3} + C$$$A