$$$\ln\left(2 x\right)$$$ 的積分

求$$$\int \ln\left(2 x\right)\, dx$$$。

令 $$$u=2 x$$$。

則 $$$du=\left(2 x\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = \frac{du}{2}$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{\ln{\left(2 x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\ln{\left(u \right)}}{2} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \ln{\left(u \right)}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{\ln{\left(u \right)}}{2} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\ln{\left(u \right)} d u}}{2}\right)}}$$

對於積分 $$$\int{\ln{\left(u \right)} d u}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{\omega} \operatorname{dv} = \operatorname{\omega}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{d\omega}$$$。

令 $$$\operatorname{\omega}=\ln{\left(u \right)}$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=du$$$。

則 $$$\operatorname{d\omega}=\left(\ln{\left(u \right)}\right)^{\prime }du=\frac{du}{u}$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{1 d u}=u$$$（步驟見 »）。

因此，

$$\frac{{\color{red}{\int{\ln{\left(u \right)} d u}}}}{2}=\frac{{\color{red}{\left(\ln{\left(u \right)} \cdot u-\int{u \cdot \frac{1}{u} d u}\right)}}}{2}=\frac{{\color{red}{\left(u \ln{\left(u \right)} - \int{1 d u}\right)}}}{2}$$

配合 $$$c=1$$$，應用常數法則 $$$\int c\, du = c u$$$：

$$\frac{u \ln{\left(u \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{1 d u}}}}{2} = \frac{u \ln{\left(u \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{u}}}{2}$$

回顧一下 $$$u=2 x$$$：

$$- \frac{{\color{red}{u}}}{2} + \frac{{\color{red}{u}} \ln{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2} = - \frac{{\color{red}{\left(2 x\right)}}}{2} + \frac{{\color{red}{\left(2 x\right)}} \ln{\left({\color{red}{\left(2 x\right)}} \right)}}{2}$$

因此，

$$\int{\ln{\left(2 x \right)} d x} = x \ln{\left(2 x \right)} - x$$

化簡：

$$\int{\ln{\left(2 x \right)} d x} = x \left(\ln{\left(x \right)} - 1 + \ln{\left(2 \right)}\right)$$

加上積分常數：

$$\int{\ln{\left(2 x \right)} d x} = x \left(\ln{\left(x \right)} - 1 + \ln{\left(2 \right)}\right)+C$$

$$$\int \ln\left(2 x\right)\, dx = x \left(\ln\left(x\right) - 1 + \ln\left(2\right)\right) + C$$$A