$$$\ln^{2}\left(x^{2}\right)$$$ 的積分

求$$$\int \ln^{2}\left(x^{2}\right)\, dx$$$。

已將輸入重寫為：$$$\int{\ln{\left(x^{2} \right)}^{2} d x}=\int{4 \ln{\left(x \right)}^{2} d x}$$$。

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=4$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = \ln{\left(x \right)}^{2}$$$：

$${\color{red}{\int{4 \ln{\left(x \right)}^{2} d x}}} = {\color{red}{\left(4 \int{\ln{\left(x \right)}^{2} d x}\right)}}$$

對於積分 $$$\int{\ln{\left(x \right)}^{2} d x}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

令 $$$\operatorname{u}=\ln{\left(x \right)}^{2}$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=dx$$$。

則 $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(x \right)}^{2}\right)^{\prime }dx=\frac{2 \ln{\left(x \right)}}{x} dx$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{1 d x}=x$$$（步驟見 »）。

因此，

$$4 {\color{red}{\int{\ln{\left(x \right)}^{2} d x}}}=4 {\color{red}{\left(\ln{\left(x \right)}^{2} \cdot x-\int{x \cdot \frac{2 \ln{\left(x \right)}}{x} d x}\right)}}=4 {\color{red}{\left(x \ln{\left(x \right)}^{2} - \int{2 \ln{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=2$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = \ln{\left(x \right)}$$$：

$$4 x \ln{\left(x \right)}^{2} - 4 {\color{red}{\int{2 \ln{\left(x \right)} d x}}} = 4 x \ln{\left(x \right)}^{2} - 4 {\color{red}{\left(2 \int{\ln{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

對於積分 $$$\int{\ln{\left(x \right)} d x}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

令 $$$\operatorname{u}=\ln{\left(x \right)}$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=dx$$$。

則 $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx=\frac{dx}{x}$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{1 d x}=x$$$（步驟見 »）。

因此，

$$4 x \ln{\left(x \right)}^{2} - 8 {\color{red}{\int{\ln{\left(x \right)} d x}}}=4 x \ln{\left(x \right)}^{2} - 8 {\color{red}{\left(\ln{\left(x \right)} \cdot x-\int{x \cdot \frac{1}{x} d x}\right)}}=4 x \ln{\left(x \right)}^{2} - 8 {\color{red}{\left(x \ln{\left(x \right)} - \int{1 d x}\right)}}$$

配合 $$$c=1$$$，應用常數法則 $$$\int c\, dx = c x$$$：

$$4 x \ln{\left(x \right)}^{2} - 8 x \ln{\left(x \right)} + 8 {\color{red}{\int{1 d x}}} = 4 x \ln{\left(x \right)}^{2} - 8 x \ln{\left(x \right)} + 8 {\color{red}{x}}$$

因此，

$$\int{4 \ln{\left(x \right)}^{2} d x} = 4 x \ln{\left(x \right)}^{2} - 8 x \ln{\left(x \right)} + 8 x$$

化簡：

$$\int{4 \ln{\left(x \right)}^{2} d x} = 4 x \left(\ln{\left(x \right)}^{2} - 2 \ln{\left(x \right)} + 2\right)$$

加上積分常數：

$$\int{4 \ln{\left(x \right)}^{2} d x} = 4 x \left(\ln{\left(x \right)}^{2} - 2 \ln{\left(x \right)} + 2\right)+C$$

$$$\int \ln^{2}\left(x^{2}\right)\, dx = 4 x \left(\ln^{2}\left(x\right) - 2 \ln\left(x\right) + 2\right) + C$$$A