$$$\ln^{2}\left(x^{2}\right)$$$の積分

$$$\int \ln^{2}\left(x^{2}\right)\, dx$$$ を求めよ。

入力は次のように書き換えられます: $$$\int{\ln{\left(x^{2} \right)}^{2} d x}=\int{4 \ln{\left(x \right)}^{2} d x}$$$。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=4$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \ln{\left(x \right)}^{2}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{4 \ln{\left(x \right)}^{2} d x}}} = {\color{red}{\left(4 \int{\ln{\left(x \right)}^{2} d x}\right)}}$$

積分 $$$\int{\ln{\left(x \right)}^{2} d x}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{u}=\ln{\left(x \right)}^{2}$$$ と $$$\operatorname{dv}=dx$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(x \right)}^{2}\right)^{\prime }dx=\frac{2 \ln{\left(x \right)}}{x} dx$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{1 d x}=x$$$（手順は»を参照）。

積分は次のようになります

$$4 {\color{red}{\int{\ln{\left(x \right)}^{2} d x}}}=4 {\color{red}{\left(\ln{\left(x \right)}^{2} \cdot x-\int{x \cdot \frac{2 \ln{\left(x \right)}}{x} d x}\right)}}=4 {\color{red}{\left(x \ln{\left(x \right)}^{2} - \int{2 \ln{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=2$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \ln{\left(x \right)}$$$ に対して適用する:

$$4 x \ln{\left(x \right)}^{2} - 4 {\color{red}{\int{2 \ln{\left(x \right)} d x}}} = 4 x \ln{\left(x \right)}^{2} - 4 {\color{red}{\left(2 \int{\ln{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

積分 $$$\int{\ln{\left(x \right)} d x}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{u}=\ln{\left(x \right)}$$$ と $$$\operatorname{dv}=dx$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx=\frac{dx}{x}$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{1 d x}=x$$$（手順は»を参照）。

積分は次のようになります

$$4 x \ln{\left(x \right)}^{2} - 8 {\color{red}{\int{\ln{\left(x \right)} d x}}}=4 x \ln{\left(x \right)}^{2} - 8 {\color{red}{\left(\ln{\left(x \right)} \cdot x-\int{x \cdot \frac{1}{x} d x}\right)}}=4 x \ln{\left(x \right)}^{2} - 8 {\color{red}{\left(x \ln{\left(x \right)} - \int{1 d x}\right)}}$$

$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, dx = c x$$$ を適用する:

$$4 x \ln{\left(x \right)}^{2} - 8 x \ln{\left(x \right)} + 8 {\color{red}{\int{1 d x}}} = 4 x \ln{\left(x \right)}^{2} - 8 x \ln{\left(x \right)} + 8 {\color{red}{x}}$$

したがって、

$$\int{4 \ln{\left(x \right)}^{2} d x} = 4 x \ln{\left(x \right)}^{2} - 8 x \ln{\left(x \right)} + 8 x$$

簡単化せよ:

$$\int{4 \ln{\left(x \right)}^{2} d x} = 4 x \left(\ln{\left(x \right)}^{2} - 2 \ln{\left(x \right)} + 2\right)$$

積分定数を加える:

$$\int{4 \ln{\left(x \right)}^{2} d x} = 4 x \left(\ln{\left(x \right)}^{2} - 2 \ln{\left(x \right)} + 2\right)+C$$

$$$\int \ln^{2}\left(x^{2}\right)\, dx = 4 x \left(\ln^{2}\left(x\right) - 2 \ln\left(x\right) + 2\right) + C$$$A