$$$\ln\left(x\right)$$$ 的積分

求$$$\int \ln\left(x\right)\, dx$$$。

對於積分 $$$\int{\ln{\left(x \right)} d x}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

令 $$$\operatorname{u}=\ln{\left(x \right)}$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=dx$$$。

則 $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx=\frac{dx}{x}$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{1 d x}=x$$$（步驟見 »）。

該積分可改寫為

$${\color{red}{\int{\ln{\left(x \right)} d x}}}={\color{red}{\left(\ln{\left(x \right)} \cdot x-\int{x \cdot \frac{1}{x} d x}\right)}}={\color{red}{\left(x \ln{\left(x \right)} - \int{1 d x}\right)}}$$

配合 $$$c=1$$$，應用常數法則 $$$\int c\, dx = c x$$$：

$$x \ln{\left(x \right)} - {\color{red}{\int{1 d x}}} = x \ln{\left(x \right)} - {\color{red}{x}}$$

因此，

$$\int{\ln{\left(x \right)} d x} = x \ln{\left(x \right)} - x$$

化簡：

$$\int{\ln{\left(x \right)} d x} = x \left(\ln{\left(x \right)} - 1\right)$$

加上積分常數：

$$\int{\ln{\left(x \right)} d x} = x \left(\ln{\left(x \right)} - 1\right)+C$$

$$$\int \ln\left(x\right)\, dx = x \left(\ln\left(x\right) - 1\right) + C$$$A