$$$e^{1 - x}$$$ 的積分

求$$$\int e^{1 - x}\, dx$$$。

令 $$$u=1 - x$$$。

則 $$$du=\left(1 - x\right)^{\prime }dx = - dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = - du$$$。

該積分可改寫為

$${\color{red}{\int{e^{1 - x} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=-1$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$：

$${\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$- {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - {\color{red}{e^{u}}}$$

回顧一下 $$$u=1 - x$$$：

$$- e^{{\color{red}{u}}} = - e^{{\color{red}{\left(1 - x\right)}}}$$

因此，

$$\int{e^{1 - x} d x} = - e^{1 - x}$$

加上積分常數：

$$\int{e^{1 - x} d x} = - e^{1 - x}+C$$

$$$\int e^{1 - x}\, dx = - e^{1 - x} + C$$$A