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$$$\cos^{2}{\left(y \right)}$$$ 的積分
您的輸入
求$$$\int \cos^{2}{\left(y \right)}\, dy$$$。
解答
套用降冪公式 $$$\cos^{2}{\left(\alpha \right)} = \frac{\cos{\left(2 \alpha \right)}}{2} + \frac{1}{2}$$$，令 $$$\alpha=y$$$:
$${\color{red}{\int{\cos^{2}{\left(y \right)} d y}}} = {\color{red}{\int{\left(\frac{\cos{\left(2 y \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)d y}}}$$
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(y \right)}\, dy = c \int f{\left(y \right)}\, dy$$$，使用 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 與 $$$f{\left(y \right)} = \cos{\left(2 y \right)} + 1$$$：
$${\color{red}{\int{\left(\frac{\cos{\left(2 y \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)d y}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\left(\cos{\left(2 y \right)} + 1\right)d y}}{2}\right)}}$$
逐項積分：
$$\frac{{\color{red}{\int{\left(\cos{\left(2 y \right)} + 1\right)d y}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\left(\int{1 d y} + \int{\cos{\left(2 y \right)} d y}\right)}}}{2}$$
配合 $$$c=1$$$，應用常數法則 $$$\int c\, dy = c y$$$：
$$\frac{\int{\cos{\left(2 y \right)} d y}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{1 d y}}}}{2} = \frac{\int{\cos{\left(2 y \right)} d y}}{2} + \frac{{\color{red}{y}}}{2}$$
令 $$$u=2 y$$$。
則 $$$du=\left(2 y\right)^{\prime }dy = 2 dy$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dy = \frac{du}{2}$$$。
所以，
$$\frac{y}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(2 y \right)} d y}}}}{2} = \frac{y}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{2} d u}}}}{2}$$
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$：
$$\frac{y}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{2} d u}}}}{2} = \frac{y}{2} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{2}\right)}}}{2}$$
餘弦函數的積分為 $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$：
$$\frac{y}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}}}{4} = \frac{y}{2} + \frac{{\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}{4}$$
回顧一下 $$$u=2 y$$$：
$$\frac{y}{2} + \frac{\sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}{4} = \frac{y}{2} + \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(2 y\right)}} \right)}}{4}$$
因此，
$$\int{\cos^{2}{\left(y \right)} d y} = \frac{y}{2} + \frac{\sin{\left(2 y \right)}}{4}$$
加上積分常數：
$$\int{\cos^{2}{\left(y \right)} d y} = \frac{y}{2} + \frac{\sin{\left(2 y \right)}}{4}+C$$
答案
$$$\int \cos^{2}{\left(y \right)}\, dy = \left(\frac{y}{2} + \frac{\sin{\left(2 y \right)}}{4}\right) + C$$$A