$$$8 e^{4 x}$$$ 的積分

求$$$\int 8 e^{4 x}\, dx$$$。

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=8$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = e^{4 x}$$$：

$${\color{red}{\int{8 e^{4 x} d x}}} = {\color{red}{\left(8 \int{e^{4 x} d x}\right)}}$$

令 $$$u=4 x$$$。

則 $$$du=\left(4 x\right)^{\prime }dx = 4 dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = \frac{du}{4}$$$。

因此，

$$8 {\color{red}{\int{e^{4 x} d x}}} = 8 {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{4} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{4}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$：

$$8 {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{4} d u}}} = 8 {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{4}\right)}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$2 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = 2 {\color{red}{e^{u}}}$$

回顧一下 $$$u=4 x$$$：

$$2 e^{{\color{red}{u}}} = 2 e^{{\color{red}{\left(4 x\right)}}}$$

因此，

$$\int{8 e^{4 x} d x} = 2 e^{4 x}$$

加上積分常數：

$$\int{8 e^{4 x} d x} = 2 e^{4 x}+C$$

$$$\int 8 e^{4 x}\, dx = 2 e^{4 x} + C$$$A