$$$8 e^{4 x}$$$の積分

$$$\int 8 e^{4 x}\, dx$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=8$$$ と $$$f{\left(x \right)} = e^{4 x}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{8 e^{4 x} d x}}} = {\color{red}{\left(8 \int{e^{4 x} d x}\right)}}$$

$$$u=4 x$$$ とする。

すると $$$du=\left(4 x\right)^{\prime }dx = 4 dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = \frac{du}{4}$$$ となります。

したがって、

$$8 {\color{red}{\int{e^{4 x} d x}}} = 8 {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{4} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{4}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ に対して適用する:

$$8 {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{4} d u}}} = 8 {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{4}\right)}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$$2 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = 2 {\color{red}{e^{u}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=4 x$$$:

$$2 e^{{\color{red}{u}}} = 2 e^{{\color{red}{\left(4 x\right)}}}$$

したがって、

$$\int{8 e^{4 x} d x} = 2 e^{4 x}$$

積分定数を加える:

$$\int{8 e^{4 x} d x} = 2 e^{4 x}+C$$

$$$\int 8 e^{4 x}\, dx = 2 e^{4 x} + C$$$A