$$$70 e^{\frac{3 x}{50}}$$$ 的積分

求$$$\int 70 e^{\frac{3 x}{50}}\, dx$$$。

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=70$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = e^{\frac{3 x}{50}}$$$：

$${\color{red}{\int{70 e^{\frac{3 x}{50}} d x}}} = {\color{red}{\left(70 \int{e^{\frac{3 x}{50}} d x}\right)}}$$

令 $$$u=\frac{3 x}{50}$$$。

則 $$$du=\left(\frac{3 x}{50}\right)^{\prime }dx = \frac{3 dx}{50}$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = \frac{50 du}{3}$$$。

該積分變為

$$70 {\color{red}{\int{e^{\frac{3 x}{50}} d x}}} = 70 {\color{red}{\int{\frac{50 e^{u}}{3} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{50}{3}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$：

$$70 {\color{red}{\int{\frac{50 e^{u}}{3} d u}}} = 70 {\color{red}{\left(\frac{50 \int{e^{u} d u}}{3}\right)}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$\frac{3500 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{3} = \frac{3500 {\color{red}{e^{u}}}}{3}$$

回顧一下 $$$u=\frac{3 x}{50}$$$：

$$\frac{3500 e^{{\color{red}{u}}}}{3} = \frac{3500 e^{{\color{red}{\left(\frac{3 x}{50}\right)}}}}{3}$$

因此，

$$\int{70 e^{\frac{3 x}{50}} d x} = \frac{3500 e^{\frac{3 x}{50}}}{3}$$

加上積分常數：

$$\int{70 e^{\frac{3 x}{50}} d x} = \frac{3500 e^{\frac{3 x}{50}}}{3}+C$$

$$$\int 70 e^{\frac{3 x}{50}}\, dx = \frac{3500 e^{\frac{3 x}{50}}}{3} + C$$$A