Intégrale de $$$70 e^{\frac{3 x}{50}}$$$

Déterminez $$$\int 70 e^{\frac{3 x}{50}}\, dx$$$.

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=70$$$ et $$$f{\left(x \right)} = e^{\frac{3 x}{50}}$$$ :

$${\color{red}{\int{70 e^{\frac{3 x}{50}} d x}}} = {\color{red}{\left(70 \int{e^{\frac{3 x}{50}} d x}\right)}}$$

Soit $$$u=\frac{3 x}{50}$$$.

Alors $$$du=\left(\frac{3 x}{50}\right)^{\prime }dx = \frac{3 dx}{50}$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = \frac{50 du}{3}$$$.

Par conséquent,

$$70 {\color{red}{\int{e^{\frac{3 x}{50}} d x}}} = 70 {\color{red}{\int{\frac{50 e^{u}}{3} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=\frac{50}{3}$$$ et $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ :

$$70 {\color{red}{\int{\frac{50 e^{u}}{3} d u}}} = 70 {\color{red}{\left(\frac{50 \int{e^{u} d u}}{3}\right)}}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$ :

$$\frac{3500 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{3} = \frac{3500 {\color{red}{e^{u}}}}{3}$$

Rappelons que $$$u=\frac{3 x}{50}$$$ :

$$\frac{3500 e^{{\color{red}{u}}}}{3} = \frac{3500 e^{{\color{red}{\left(\frac{3 x}{50}\right)}}}}{3}$$

Par conséquent,

$$\int{70 e^{\frac{3 x}{50}} d x} = \frac{3500 e^{\frac{3 x}{50}}}{3}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{70 e^{\frac{3 x}{50}} d x} = \frac{3500 e^{\frac{3 x}{50}}}{3}+C$$

$$$\int 70 e^{\frac{3 x}{50}}\, dx = \frac{3500 e^{\frac{3 x}{50}}}{3} + C$$$A