$$$4 \cos{\left(2 x \right)}$$$ 的積分

求$$$\int 4 \cos{\left(2 x \right)}\, dx$$$。

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=4$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}$$$：

$${\color{red}{\int{4 \cos{\left(2 x \right)} d x}}} = {\color{red}{\left(4 \int{\cos{\left(2 x \right)} d x}\right)}}$$

令 $$$u=2 x$$$。

則 $$$du=\left(2 x\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = \frac{du}{2}$$$。

該積分變為

$$4 {\color{red}{\int{\cos{\left(2 x \right)} d x}}} = 4 {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{2} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$：

$$4 {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{2} d u}}} = 4 {\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{2}\right)}}$$

餘弦函數的積分為 $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$：

$$2 {\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}} = 2 {\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}$$

回顧一下 $$$u=2 x$$$：

$$2 \sin{\left({\color{red}{u}} \right)} = 2 \sin{\left({\color{red}{\left(2 x\right)}} \right)}$$

因此，

$$\int{4 \cos{\left(2 x \right)} d x} = 2 \sin{\left(2 x \right)}$$

加上積分常數：

$$\int{4 \cos{\left(2 x \right)} d x} = 2 \sin{\left(2 x \right)}+C$$

$$$\int 4 \cos{\left(2 x \right)}\, dx = 2 \sin{\left(2 x \right)} + C$$$A