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$$$2^{x} - 4^{x}$$$ 的積分
您的輸入
求$$$\int \left(2^{x} - 4^{x}\right)\, dx$$$。
解答
逐項積分：
$${\color{red}{\int{\left(2^{x} - 4^{x}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{2^{x} d x} - \int{4^{x} d x}\right)}}$$
Apply the exponential rule $$$\int{a^{x} d x} = \frac{a^{x}}{\ln{\left(a \right)}}$$$ with $$$a=2$$$:
$$- \int{4^{x} d x} + {\color{red}{\int{2^{x} d x}}} = - \int{4^{x} d x} + {\color{red}{\frac{2^{x}}{\ln{\left(2 \right)}}}}$$
Apply the exponential rule $$$\int{a^{x} d x} = \frac{a^{x}}{\ln{\left(a \right)}}$$$ with $$$a=4$$$:
$$\frac{2^{x}}{\ln{\left(2 \right)}} - {\color{red}{\int{4^{x} d x}}} = \frac{2^{x}}{\ln{\left(2 \right)}} - {\color{red}{\frac{4^{x}}{\ln{\left(4 \right)}}}}$$
因此，
$$\int{\left(2^{x} - 4^{x}\right)d x} = \frac{2^{x}}{\ln{\left(2 \right)}} - \frac{4^{x}}{\ln{\left(4 \right)}}$$
化簡：
$$\int{\left(2^{x} - 4^{x}\right)d x} = \frac{2 \cdot 2^{x} - 4^{x}}{2 \ln{\left(2 \right)}}$$
加上積分常數：
$$\int{\left(2^{x} - 4^{x}\right)d x} = \frac{2 \cdot 2^{x} - 4^{x}}{2 \ln{\left(2 \right)}}+C$$
答案
$$$\int \left(2^{x} - 4^{x}\right)\, dx = \frac{2 \cdot 2^{x} - 4^{x}}{2 \ln\left(2\right)} + C$$$A