$$$\frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2} - 25}}$$$ 的積分

求$$$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2} - 25}}\, dx$$$。

令 $$$x=5 \cosh{\left(u \right)}$$$。

則 $$$dx=\left(5 \cosh{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = 5 \sinh{\left(u \right)} du$$$（步驟見»）。

此外，由此可得 $$$u=\operatorname{acosh}{\left(\frac{x}{5} \right)}$$$。

所以，

$$$\frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2} - 25}} = \frac{1}{25 \sqrt{25 \cosh^{2}{\left( u \right)} - 25} \cosh^{2}{\left( u \right)}}$$$

使用恆等式 $$$\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1 = \sinh^{2}{\left( u \right)}$$$：

$$$\frac{1}{25 \sqrt{25 \cosh^{2}{\left( u \right)} - 25} \cosh^{2}{\left( u \right)}}=\frac{1}{125 \sqrt{\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1} \cosh^{2}{\left( u \right)}}=\frac{1}{125 \sqrt{\sinh^{2}{\left( u \right)}} \cosh^{2}{\left( u \right)}}$$$

假設 $$$\sinh{\left( u \right)} \ge 0$$$，可得如下：

$$$\frac{1}{125 \sqrt{\sinh^{2}{\left( u \right)}} \cosh^{2}{\left( u \right)}} = \frac{1}{125 \sinh{\left( u \right)} \cosh^{2}{\left( u \right)}}$$$

積分可以改寫為

$${\color{red}{\int{\frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2} - 25}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{25 \cosh^{2}{\left(u \right)}} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{25}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{\cosh^{2}{\left(u \right)}}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{1}{25 \cosh^{2}{\left(u \right)}} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{\cosh^{2}{\left(u \right)}} d u}}{25}\right)}}$$

用雙曲正割表示被積分函數:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{\cosh^{2}{\left(u \right)}} d u}}}}{25} = \frac{{\color{red}{\int{\operatorname{sech}^{2}{\left(u \right)} d u}}}}{25}$$

$$$\operatorname{sech}^{2}{\left(u \right)}$$$ 的積分是 $$$\int{\operatorname{sech}^{2}{\left(u \right)} d u} = \tanh{\left(u \right)}$$$：

$$\frac{{\color{red}{\int{\operatorname{sech}^{2}{\left(u \right)} d u}}}}{25} = \frac{{\color{red}{\tanh{\left(u \right)}}}}{25}$$

回顧一下 $$$u=\operatorname{acosh}{\left(\frac{x}{5} \right)}$$$：

$$\frac{\tanh{\left({\color{red}{u}} \right)}}{25} = \frac{\tanh{\left({\color{red}{\operatorname{acosh}{\left(\frac{x}{5} \right)}}} \right)}}{25}$$

因此，

$$\int{\frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2} - 25}} d x} = \frac{\sqrt{\frac{x}{5} - 1} \sqrt{\frac{x}{5} + 1}}{5 x}$$

化簡：

$$\int{\frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2} - 25}} d x} = \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{x + 5}}{25 x}$$

加上積分常數：

$$\int{\frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2} - 25}} d x} = \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{x + 5}}{25 x}+C$$

$$$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2} - 25}}\, dx = \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{x + 5}}{25 x} + C$$$A