$$$e^{4 \theta} \sin{\left(5 \theta \right)}$$$ 的積分

求$$$\int e^{4 \theta} \sin{\left(5 \theta \right)}\, d\theta$$$。

對於積分 $$$\int{e^{4 \theta} \sin{\left(5 \theta \right)} d \theta}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

令 $$$\operatorname{u}=\sin{\left(5 \theta \right)}$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=e^{4 \theta} d\theta$$$。

則 $$$\operatorname{du}=\left(\sin{\left(5 \theta \right)}\right)^{\prime }d\theta=5 \cos{\left(5 \theta \right)} d\theta$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{4 \theta} d \theta}=\frac{e^{4 \theta}}{4}$$$（步驟見 »）。

因此，

$${\color{red}{\int{e^{4 \theta} \sin{\left(5 \theta \right)} d \theta}}}={\color{red}{\left(\sin{\left(5 \theta \right)} \cdot \frac{e^{4 \theta}}{4}-\int{\frac{e^{4 \theta}}{4} \cdot 5 \cos{\left(5 \theta \right)} d \theta}\right)}}={\color{red}{\left(\frac{e^{4 \theta} \sin{\left(5 \theta \right)}}{4} - \int{\frac{5 e^{4 \theta} \cos{\left(5 \theta \right)}}{4} d \theta}\right)}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(\theta \right)}\, d\theta = c \int f{\left(\theta \right)}\, d\theta$$$，使用 $$$c=\frac{5}{4}$$$ 與 $$$f{\left(\theta \right)} = e^{4 \theta} \cos{\left(5 \theta \right)}$$$：

$$\frac{e^{4 \theta} \sin{\left(5 \theta \right)}}{4} - {\color{red}{\int{\frac{5 e^{4 \theta} \cos{\left(5 \theta \right)}}{4} d \theta}}} = \frac{e^{4 \theta} \sin{\left(5 \theta \right)}}{4} - {\color{red}{\left(\frac{5 \int{e^{4 \theta} \cos{\left(5 \theta \right)} d \theta}}{4}\right)}}$$

對於積分 $$$\int{e^{4 \theta} \cos{\left(5 \theta \right)} d \theta}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

令 $$$\operatorname{u}=\cos{\left(5 \theta \right)}$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=e^{4 \theta} d\theta$$$。

則 $$$\operatorname{du}=\left(\cos{\left(5 \theta \right)}\right)^{\prime }d\theta=- 5 \sin{\left(5 \theta \right)} d\theta$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{4 \theta} d \theta}=\frac{e^{4 \theta}}{4}$$$（步驟見 »）。

因此，

$$\frac{e^{4 \theta} \sin{\left(5 \theta \right)}}{4} - \frac{5 {\color{red}{\int{e^{4 \theta} \cos{\left(5 \theta \right)} d \theta}}}}{4}=\frac{e^{4 \theta} \sin{\left(5 \theta \right)}}{4} - \frac{5 {\color{red}{\left(\cos{\left(5 \theta \right)} \cdot \frac{e^{4 \theta}}{4}-\int{\frac{e^{4 \theta}}{4} \cdot \left(- 5 \sin{\left(5 \theta \right)}\right) d \theta}\right)}}}{4}=\frac{e^{4 \theta} \sin{\left(5 \theta \right)}}{4} - \frac{5 {\color{red}{\left(\frac{e^{4 \theta} \cos{\left(5 \theta \right)}}{4} - \int{\left(- \frac{5 e^{4 \theta} \sin{\left(5 \theta \right)}}{4}\right)d \theta}\right)}}}{4}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(\theta \right)}\, d\theta = c \int f{\left(\theta \right)}\, d\theta$$$，使用 $$$c=- \frac{5}{4}$$$ 與 $$$f{\left(\theta \right)} = e^{4 \theta} \sin{\left(5 \theta \right)}$$$：

$$\frac{e^{4 \theta} \sin{\left(5 \theta \right)}}{4} - \frac{5 e^{4 \theta} \cos{\left(5 \theta \right)}}{16} + \frac{5 {\color{red}{\int{\left(- \frac{5 e^{4 \theta} \sin{\left(5 \theta \right)}}{4}\right)d \theta}}}}{4} = \frac{e^{4 \theta} \sin{\left(5 \theta \right)}}{4} - \frac{5 e^{4 \theta} \cos{\left(5 \theta \right)}}{16} + \frac{5 {\color{red}{\left(- \frac{5 \int{e^{4 \theta} \sin{\left(5 \theta \right)} d \theta}}{4}\right)}}}{4}$$

我們得到了先前見過的一個積分。

因此，我們得到關於該積分的如下簡單等式：

$$\int{e^{4 \theta} \sin{\left(5 \theta \right)} d \theta} = \frac{e^{4 \theta} \sin{\left(5 \theta \right)}}{4} - \frac{5 e^{4 \theta} \cos{\left(5 \theta \right)}}{16} - \frac{25 \int{e^{4 \theta} \sin{\left(5 \theta \right)} d \theta}}{16}$$

求解後，可得

$$\int{e^{4 \theta} \sin{\left(5 \theta \right)} d \theta} = \frac{\left(4 \sin{\left(5 \theta \right)} - 5 \cos{\left(5 \theta \right)}\right) e^{4 \theta}}{41}$$

因此，

$$\int{e^{4 \theta} \sin{\left(5 \theta \right)} d \theta} = \frac{\left(4 \sin{\left(5 \theta \right)} - 5 \cos{\left(5 \theta \right)}\right) e^{4 \theta}}{41}$$

加上積分常數：

$$\int{e^{4 \theta} \sin{\left(5 \theta \right)} d \theta} = \frac{\left(4 \sin{\left(5 \theta \right)} - 5 \cos{\left(5 \theta \right)}\right) e^{4 \theta}}{41}+C$$

$$$\int e^{4 \theta} \sin{\left(5 \theta \right)}\, d\theta = \frac{\left(4 \sin{\left(5 \theta \right)} - 5 \cos{\left(5 \theta \right)}\right) e^{4 \theta}}{41} + C$$$A