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$$$\frac{t^{2} e^{- x^{2}}}{u}$$$ 對 $$$x$$$ 的積分
您的輸入
求$$$\int \frac{t^{2} e^{- x^{2}}}{u}\, dx$$$。
解答
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=\frac{t^{2}}{u}$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = e^{- x^{2}}$$$：
$${\color{red}{\int{\frac{t^{2} e^{- x^{2}}}{u} d x}}} = {\color{red}{\frac{t^{2} \int{e^{- x^{2}} d x}}{u}}}$$
此積分（誤差函數）不存在閉式表示：
$$\frac{t^{2} {\color{red}{\int{e^{- x^{2}} d x}}}}{u} = \frac{t^{2} {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(x \right)}}{2}\right)}}}{u}$$
因此，
$$\int{\frac{t^{2} e^{- x^{2}}}{u} d x} = \frac{\sqrt{\pi} t^{2} \operatorname{erf}{\left(x \right)}}{2 u}$$
加上積分常數：
$$\int{\frac{t^{2} e^{- x^{2}}}{u} d x} = \frac{\sqrt{\pi} t^{2} \operatorname{erf}{\left(x \right)}}{2 u}+C$$
答案
$$$\int \frac{t^{2} e^{- x^{2}}}{u}\, dx = \frac{\sqrt{\pi} t^{2} \operatorname{erf}{\left(x \right)}}{2 u} + C$$$A