雙曲線 $$$- 16 x^{2} + 9 y^{2} = 144$$$ 的性質

求雙曲線 $$$- 16 x^{2} + 9 y^{2} = 144$$$ 的中心、焦點、頂點、副頂點、長軸長度、長半軸長度、短軸長度、短半軸長度、通徑、通徑的長度（焦寬）、焦參數、離心率、線性離心率（焦距）、準線、漸近線、x 軸截距、y 軸截距、定義域與值域。

雙曲線的方程為 $$$\frac{\left(y - k\right)^{2}}{b^{2}} - \frac{\left(x - h\right)^{2}}{a^{2}} = 1$$$，其中 $$$\left(h, k\right)$$$ 為中心，$$$a$$$ 和 $$$b$$$ 分別是半長軸與半短軸的長度。

我們的雙曲線在此形式下為 $$$\frac{\left(y - 0\right)^{2}}{16} - \frac{\left(x - 0\right)^{2}}{9} = 1$$$。

因此，$$$h = 0$$$, $$$k = 0$$$, $$$a = 3$$$, $$$b = 4$$$。

標準形式為 $$$\frac{y^{2}}{4^{2}} - \frac{x^{2}}{3^{2}} = 1$$$。

頂點式為 $$$\frac{y^{2}}{16} - \frac{x^{2}}{9} = 1$$$。

一般式為 $$$16 x^{2} - 9 y^{2} + 144 = 0$$$。

線離心距（半焦距）為 $$$c = \sqrt{b^{2} + a^{2}} = 5$$$。

離心率為 $$$e = \frac{c}{b} = \frac{5}{4}$$$。

第一焦點為$$$\left(h, k - c\right) = \left(0, -5\right)$$$。

第二個焦點是$$$\left(h, k + c\right) = \left(0, 5\right)$$$。

第一個頂點為 $$$\left(h, k - b\right) = \left(0, -4\right)$$$。

第二個頂點為 $$$\left(h, k + b\right) = \left(0, 4\right)$$$。

第一個副頂點為 $$$\left(h - a, k\right) = \left(-3, 0\right)$$$。

第二個副頂點為 $$$\left(h + a, k\right) = \left(3, 0\right)$$$。

長軸的長度為 $$$2 b = 8$$$。

短軸的長度為 $$$2 a = 6$$$。

焦準距是焦點與準線之間的距離: $$$\frac{a^{2}}{c} = \frac{9}{5}$$$.

準弦是與短軸平行並通過焦點的直線。

第一條準弦是 $$$y = -5$$$。

第二條準通徑為 $$$y = 5$$$。

第一條準通徑的端點可透過解方程組 $$$\begin{cases} 16 x^{2} - 9 y^{2} + 144 = 0 \\ y = -5 \end{cases}$$$ 求得（步驟請參見 方程組計算器）。

第一條通徑的端點為 $$$\left(- \frac{9}{4}, -5\right)$$$, $$$\left(\frac{9}{4}, -5\right)$$$。

第二條通徑的端點可由解聯立方程組 $$$\begin{cases} 16 x^{2} - 9 y^{2} + 144 = 0 \\ y = 5 \end{cases}$$$ 求得（步驟請參見 聯立方程組計算器）。

第二條通徑的端點為 $$$\left(- \frac{9}{4}, 5\right)$$$, $$$\left(\frac{9}{4}, 5\right)$$$。

準通徑（焦點弦）的長度為 $$$\frac{2 a^{2}}{b} = \frac{9}{2}$$$。

第一條準線為 $$$y = k - \frac{b^{2}}{c} = - \frac{16}{5}$$$。

第二條準線為 $$$y = k + \frac{b^{2}}{c} = \frac{16}{5}$$$。

第一條漸近線為 $$$y = - \frac{b}{a} \left(x - h\right) + k = - \frac{4 x}{3}$$$。

第二條漸近線為 $$$y = \frac{b}{a} \left(x - h\right) + k = \frac{4 x}{3}$$$。

可透過在方程中令 $$$y = 0$$$，並求解 $$$x$$$，來求得 x 截距（步驟請見 intercepts calculator）。

由於沒有實數解，因此沒有 x 截距。

y 軸截距可透過將$$$x = 0$$$代入方程並解出$$$y$$$來求得：（步驟請參見 截距計算器）。

y 軸截距: $$$\left(0, -4\right)$$$, $$$\left(0, 4\right)$$$

標準式/方程式: $$$\frac{y^{2}}{4^{2}} - \frac{x^{2}}{3^{2}} = 1$$$A.

頂點式/方程式：$$$\frac{y^{2}}{16} - \frac{x^{2}}{9} = 1$$$A。

一般式/方程式: $$$16 x^{2} - 9 y^{2} + 144 = 0$$$A.

第一組焦點-準線形式/方程式：$$$x^{2} + \left(y + 5\right)^{2} = \frac{25 \left(y + \frac{16}{5}\right)^{2}}{16}$$$A。

第二焦點-準線形式/方程：$$$x^{2} + \left(y - 5\right)^{2} = \frac{25 \left(y - \frac{16}{5}\right)^{2}}{16}$$$A

圖形：請參見繪圖計算器。

中心：$$$\left(0, 0\right)$$$A。

第一焦點：$$$\left(0, -5\right)$$$A。

第二焦點：$$$\left(0, 5\right)$$$A。

第一個頂點：$$$\left(0, -4\right)$$$A。

第二個頂點: $$$\left(0, 4\right)$$$A.

第一個共頂點：$$$\left(-3, 0\right)$$$A。

第二個副頂點：$$$\left(3, 0\right)$$$A。

長（實）軸長度：$$$8$$$A。

長半軸長度：$$$4$$$A。

短 (共軛) 軸長: $$$6$$$A.

短半軸長度：$$$3$$$A。

第一準弦：$$$y = -5$$$A。

第二條通徑：$$$y = 5$$$A。

第一條通徑的端點：$$$\left(- \frac{9}{4}, -5\right) = \left(-2.25, -5\right)$$$, $$$\left(\frac{9}{4}, -5\right) = \left(2.25, -5\right)$$$A。

第二條準弦的端點：$$$\left(- \frac{9}{4}, 5\right) = \left(-2.25, 5\right)$$$, $$$\left(\frac{9}{4}, 5\right) = \left(2.25, 5\right)$$$A。

準弦的長度（焦寬）：$$$\frac{9}{2} = 4.5$$$A。

焦點參數：$$$\frac{9}{5} = 1.8$$$A。

離心率：$$$\frac{5}{4} = 1.25$$$A。

離心距（焦點距離）：$$$5$$$A。

第一準線：$$$y = - \frac{16}{5} = -3.2$$$A。

第二準線：$$$y = \frac{16}{5} = 3.2$$$A。

第一條漸近線：$$$y = - \frac{4 x}{3}\approx - 1.333333333333333 x$$$A。

第二條漸近線：$$$y = \frac{4 x}{3}\approx 1.333333333333333 x$$$A。

x 軸截距：沒有 x 截距。

y 軸截距：$$$\left(0, -4\right)$$$, $$$\left(0, 4\right)$$$A。

定義域: $$$\left(-\infty, \infty\right)$$$A.

值域：$$$\left(-\infty, -4\right] \cup \left[4, \infty\right)$$$A。