圓 $$$\left(x + 9\right)^{2} + \left(y - 6\right)^{2} = 102$$$ 的性質
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求圓 $$$\left(x + 9\right)^{2} + \left(y - 6\right)^{2} = 102$$$ 的圓心、半徑、直徑、圓周長、面積、離心率、離心距、x 截距、y 截距、定義域和值域。
解答
圓的方程式的標準形式為 $$$\left(x - h\right)^{2} + \left(y - k\right)^{2} = r^{2}$$$，其中 $$$\left(h, k\right)$$$ 是圓心，$$$r$$$ 是半徑。
以此形式，我們的圓為 $$$\left(x - \left(-9\right)\right)^{2} + \left(y - 6\right)^{2} = \left(\sqrt{102}\right)^{2}$$$。
因此，$$$h = -9$$$, $$$k = 6$$$, $$$r = \sqrt{102}$$$。
標準形式為 $$$\left(x + 9\right)^{2} + \left(y - 6\right)^{2} = 102$$$。
將所有項移到左側，並在需要時展開，即可得到一般式：$$$x^{2} + 18 x + y^{2} - 12 y + 15 = 0$$$。
中心：$$$\left(-9, 6\right)$$$。
半徑: $$$r = \sqrt{102}$$$.
直徑：$$$d = 2 r = 2 \sqrt{102}$$$。
圓周長：$$$C = 2 \pi r = 2 \sqrt{102} \pi$$$。
面積: $$$A = \pi r^{2} = 102 \pi$$$.
圓的離心率與離心距皆等於$$$0$$$。
可透過在方程中令 $$$y = 0$$$，並求解 $$$x$$$，來求得 x 截距（步驟請見 intercepts calculator）。
x 軸截距: $$$\left(-9 - \sqrt{66}, 0\right)$$$, $$$\left(-9 + \sqrt{66}, 0\right)$$$
y 軸截距可透過將$$$x = 0$$$代入方程並解出$$$y$$$來求得：（步驟請參見 截距計算器）。
y 軸截距: $$$\left(0, 6 - \sqrt{21}\right)$$$, $$$\left(0, \sqrt{21} + 6\right)$$$
定義域為 $$$\left[h - r, h + r\right] = \left[- \sqrt{102} - 9, -9 + \sqrt{102}\right]$$$。
值域為 $$$\left[k - r, k + r\right] = \left[6 - \sqrt{102}, 6 + \sqrt{102}\right]$$$。
答案
標準式/方程式: $$$\left(x + 9\right)^{2} + \left(y - 6\right)^{2} = 102$$$A.
一般式/方程式: $$$x^{2} + 18 x + y^{2} - 12 y + 15 = 0$$$A.
圖形：請參見繪圖計算器。
中心：$$$\left(-9, 6\right)$$$A。
半徑：$$$\sqrt{102}\approx 10.099504938362078$$$A。
直徑：$$$2 \sqrt{102}\approx 20.199009876724156$$$A。
圓周長：$$$2 \sqrt{102} \pi\approx 63.457061038504283$$$A。
面積：$$$102 \pi\approx 320.44245066615891$$$A。
離心率：$$$0$$$A。
離心距：$$$0$$$A。
x 軸截距：$$$\left(-9 - \sqrt{66}, 0\right)\approx \left(-17.12403840463596, 0\right)$$$, $$$\left(-9 + \sqrt{66}, 0\right)\approx \left(-0.87596159536404, 0\right)$$$A。
y 軸截距：$$$\left(0, 6 - \sqrt{21}\right)\approx \left(0, 1.41742430504416\right)$$$, $$$\left(0, \sqrt{21} + 6\right)\approx \left(0, 10.58257569495584\right)$$$A。
定義域: $$$\left[- \sqrt{102} - 9, -9 + \sqrt{102}\right]\approx \left[-19.099504938362078, 1.099504938362078\right].$$$A
值域：$$$\left[6 - \sqrt{102}, 6 + \sqrt{102}\right]\approx \left[-4.099504938362078, 16.099504938362078\right]$$$A。