函数的黎曼和计算器

使用左端黎曼和并取 $$$n = 4$$$，近似计算积分 $$$\int\limits_{0}^{2} \sqrt[3]{x^{4} + 1}\, dx$$$。

左黎曼和（也称左端点近似）使用子区间的左端点来确定近似矩形的高度：

$$$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(x_{0} \right)} + f{\left(x_{1} \right)} + f{\left(x_{2} \right)}+\dots+f{\left(x_{n-2} \right)} + f{\left(x_{n-1} \right)}\right)$$$

其中 $$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$$。

我们有$$$f{\left(x \right)} = \sqrt[3]{x^{4} + 1}$$$, $$$a = 0$$$、$$$b = 2$$$和$$$n = 4$$$。

因此，$$$\Delta x = \frac{2 - 0}{4} = \frac{1}{2}$$$。

将区间 $$$\left[0, 2\right]$$$ 划分为 $$$n = 4$$$ 个长度为 $$$\Delta x = \frac{1}{2}$$$ 的子区间，其端点如下：$$$a = 0$$$, $$$\frac{1}{2}$$$, $$$1$$$, $$$\frac{3}{2}$$$, $$$2 = b$$$。

现在，只需在各子区间的左端点处计算函数值。

$$$f{\left(x_{0} \right)} = f{\left(0 \right)} = 1$$$

$$$f{\left(x_{1} \right)} = f{\left(\frac{1}{2} \right)} = \frac{\sqrt[3]{17} \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{4}\approx 1.020413775479337$$$

$$$f{\left(x_{2} \right)} = f{\left(1 \right)} = \sqrt[3]{2}\approx 1.259921049894873$$$

$$$f{\left(x_{3} \right)} = f{\left(\frac{3}{2} \right)} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{97}}{4}\approx 1.82340825744217$$$

最后，只需将以上各个数值相加并乘以 $$$\Delta x = \frac{1}{2}$$$：$$$\frac{1}{2} \left(1 + 1.020413775479337 + 1.259921049894873 + 1.82340825744217\right) = 2.55187154140819$$$。

$$$\int\limits_{0}^{2} \sqrt[3]{x^{4} + 1}\, dx\approx 2.55187154140819$$$A