$$$e^{- 4 x}$$$ 的积分

求$$$\int e^{- 4 x}\, dx$$$。

设$$$u=- 4 x$$$。

则$$$du=\left(- 4 x\right)^{\prime }dx = - 4 dx$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = - \frac{du}{4}$$$。

积分变为

$${\color{red}{\int{e^{- 4 x} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{4}\right)d u}}}$$

对 $$$c=- \frac{1}{4}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{4}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \frac{\int{e^{u} d u}}{4}\right)}}$$

指数函数的积分为 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$- \frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{4} = - \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{4}$$

回忆一下 $$$u=- 4 x$$$:

$$- \frac{e^{{\color{red}{u}}}}{4} = - \frac{e^{{\color{red}{\left(- 4 x\right)}}}}{4}$$

因此，

$$\int{e^{- 4 x} d x} = - \frac{e^{- 4 x}}{4}$$

加上积分常数：

$$\int{e^{- 4 x} d x} = - \frac{e^{- 4 x}}{4}+C$$

$$$\int e^{- 4 x}\, dx = - \frac{e^{- 4 x}}{4} + C$$$A