$$$i d n t \sin{\left(2 x \right)}$$$ 关于$$$x$$$的积分

求$$$\int i d n t \sin{\left(2 x \right)}\, dx$$$。

对 $$$c=i d n t$$$ 和 $$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$：

$${\color{red}{\int{i d n t \sin{\left(2 x \right)} d x}}} = {\color{red}{i d n t \int{\sin{\left(2 x \right)} d x}}}$$

设$$$u=2 x$$$。

则$$$du=\left(2 x\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = \frac{du}{2}$$$。

该积分可以改写为

$$i d n t {\color{red}{\int{\sin{\left(2 x \right)} d x}}} = i d n t {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{2} d u}}}$$

对 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$$i d n t {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{2} d u}}} = i d n t {\color{red}{\left(\frac{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}{2}\right)}}$$

正弦函数的积分为 $$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{i d n t {\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}}}{2} = \frac{i d n t {\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}}{2}$$

回忆一下 $$$u=2 x$$$:

$$- \frac{i d n t \cos{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2} = - \frac{i d n t \cos{\left({\color{red}{\left(2 x\right)}} \right)}}{2}$$

因此，

$$\int{i d n t \sin{\left(2 x \right)} d x} = - \frac{i d n t \cos{\left(2 x \right)}}{2}$$

加上积分常数：

$$\int{i d n t \sin{\left(2 x \right)} d x} = - \frac{i d n t \cos{\left(2 x \right)}}{2}+C$$

$$$\int i d n t \sin{\left(2 x \right)}\, dx = - \frac{i d n t \cos{\left(2 x \right)}}{2} + C$$$A