$$$x^{2} e^{- 2 x}$$$ 的积分

求$$$\int x^{2} e^{- 2 x}\, dx$$$。

对于积分$$$\int{x^{2} e^{- 2 x} d x}$$$，使用分部积分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

设 $$$\operatorname{u}=x^{2}$$$ 和 $$$\operatorname{dv}=e^{- 2 x} dx$$$。

则 $$$\operatorname{du}=\left(x^{2}\right)^{\prime }dx=2 x dx$$$ (步骤见 »)，并且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{- 2 x} d x}=- \frac{e^{- 2 x}}{2}$$$ (步骤见 »)。

该积分可以改写为

$${\color{red}{\int{x^{2} e^{- 2 x} d x}}}={\color{red}{\left(x^{2} \cdot \left(- \frac{e^{- 2 x}}{2}\right)-\int{\left(- \frac{e^{- 2 x}}{2}\right) \cdot 2 x d x}\right)}}={\color{red}{\left(- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \int{\left(- x e^{- 2 x}\right)d x}\right)}}$$

对 $$$c=-1$$$ 和 $$$f{\left(x \right)} = x e^{- 2 x}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$：

$$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - {\color{red}{\int{\left(- x e^{- 2 x}\right)d x}}} = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - {\color{red}{\left(- \int{x e^{- 2 x} d x}\right)}}$$

对于积分$$$\int{x e^{- 2 x} d x}$$$，使用分部积分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

设 $$$\operatorname{u}=x$$$ 和 $$$\operatorname{dv}=e^{- 2 x} dx$$$。

则 $$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$ (步骤见 »)，并且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{- 2 x} d x}=- \frac{e^{- 2 x}}{2}$$$ (步骤见 »)。

所以，

$$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} + {\color{red}{\int{x e^{- 2 x} d x}}}=- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} + {\color{red}{\left(x \cdot \left(- \frac{e^{- 2 x}}{2}\right)-\int{\left(- \frac{e^{- 2 x}}{2}\right) \cdot 1 d x}\right)}}=- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} + {\color{red}{\left(- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int{\left(- \frac{e^{- 2 x}}{2}\right)d x}\right)}}$$

对 $$$c=- \frac{1}{2}$$$ 和 $$$f{\left(x \right)} = e^{- 2 x}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$：

$$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{- 2 x}}{2}\right)d x}}} = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - {\color{red}{\left(- \frac{\int{e^{- 2 x} d x}}{2}\right)}}$$

设$$$u=- 2 x$$$。

则$$$du=\left(- 2 x\right)^{\prime }dx = - 2 dx$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = - \frac{du}{2}$$$。

该积分可以改写为

$$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{e^{- 2 x} d x}}}}{2} = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{2}\right)d u}}}}{2}$$

对 $$$c=- \frac{1}{2}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{2}\right)d u}}}}{2} = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{{\color{red}{\left(- \frac{\int{e^{u} d u}}{2}\right)}}}{2}$$

指数函数的积分为 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{4} = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{4}$$

回忆一下 $$$u=- 2 x$$$:

$$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{{\color{red}{u}}}}{4} = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{{\color{red}{\left(- 2 x\right)}}}}{4}$$

因此，

$$\int{x^{2} e^{- 2 x} d x} = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}$$

化简：

$$\int{x^{2} e^{- 2 x} d x} = \frac{\left(- 2 x^{2} - 2 x - 1\right) e^{- 2 x}}{4}$$

加上积分常数：

$$\int{x^{2} e^{- 2 x} d x} = \frac{\left(- 2 x^{2} - 2 x - 1\right) e^{- 2 x}}{4}+C$$

$$$\int x^{2} e^{- 2 x}\, dx = \frac{\left(- 2 x^{2} - 2 x - 1\right) e^{- 2 x}}{4} + C$$$A