$$$x^{2} e^{- 2 x}$$$の積分

$$$\int x^{2} e^{- 2 x}\, dx$$$ を求めよ。

積分 $$$\int{x^{2} e^{- 2 x} d x}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{u}=x^{2}$$$ と $$$\operatorname{dv}=e^{- 2 x} dx$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{du}=\left(x^{2}\right)^{\prime }dx=2 x dx$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{e^{- 2 x} d x}=- \frac{e^{- 2 x}}{2}$$$（手順は»を参照）。

したがって、

$${\color{red}{\int{x^{2} e^{- 2 x} d x}}}={\color{red}{\left(x^{2} \cdot \left(- \frac{e^{- 2 x}}{2}\right)-\int{\left(- \frac{e^{- 2 x}}{2}\right) \cdot 2 x d x}\right)}}={\color{red}{\left(- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \int{\left(- x e^{- 2 x}\right)d x}\right)}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=-1$$$ と $$$f{\left(x \right)} = x e^{- 2 x}$$$ に対して適用する:

$$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - {\color{red}{\int{\left(- x e^{- 2 x}\right)d x}}} = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - {\color{red}{\left(- \int{x e^{- 2 x} d x}\right)}}$$

積分 $$$\int{x e^{- 2 x} d x}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{u}=x$$$ と $$$\operatorname{dv}=e^{- 2 x} dx$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{e^{- 2 x} d x}=- \frac{e^{- 2 x}}{2}$$$（手順は»を参照）。

この積分は次のように書き換えられる

$$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} + {\color{red}{\int{x e^{- 2 x} d x}}}=- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} + {\color{red}{\left(x \cdot \left(- \frac{e^{- 2 x}}{2}\right)-\int{\left(- \frac{e^{- 2 x}}{2}\right) \cdot 1 d x}\right)}}=- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} + {\color{red}{\left(- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int{\left(- \frac{e^{- 2 x}}{2}\right)d x}\right)}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=- \frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = e^{- 2 x}$$$ に対して適用する:

$$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{- 2 x}}{2}\right)d x}}} = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - {\color{red}{\left(- \frac{\int{e^{- 2 x} d x}}{2}\right)}}$$

$$$u=- 2 x$$$ とする。

すると $$$du=\left(- 2 x\right)^{\prime }dx = - 2 dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = - \frac{du}{2}$$$ となります。

積分は次のようになります

$$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{e^{- 2 x} d x}}}}{2} = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{2}\right)d u}}}}{2}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=- \frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ に対して適用する:

$$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{2}\right)d u}}}}{2} = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{{\color{red}{\left(- \frac{\int{e^{u} d u}}{2}\right)}}}{2}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{4} = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{4}$$

次のことを思い出してください $$$u=- 2 x$$$:

$$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{{\color{red}{u}}}}{4} = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{{\color{red}{\left(- 2 x\right)}}}}{4}$$

したがって、

$$\int{x^{2} e^{- 2 x} d x} = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}$$

簡単化せよ:

$$\int{x^{2} e^{- 2 x} d x} = \frac{\left(- 2 x^{2} - 2 x - 1\right) e^{- 2 x}}{4}$$

積分定数を加える:

$$\int{x^{2} e^{- 2 x} d x} = \frac{\left(- 2 x^{2} - 2 x - 1\right) e^{- 2 x}}{4}+C$$

$$$\int x^{2} e^{- 2 x}\, dx = \frac{\left(- 2 x^{2} - 2 x - 1\right) e^{- 2 x}}{4} + C$$$A