$$$\ln\left(\frac{a^{2}}{x^{2}}\right)$$$ 关于$$$x$$$的积分

求$$$\int \ln\left(\frac{a^{2}}{x^{2}}\right)\, dx$$$。

对于积分$$$\int{\ln{\left(\frac{a^{2}}{x^{2}} \right)} d x}$$$，使用分部积分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

设 $$$\operatorname{u}=\ln{\left(\frac{a^{2}}{x^{2}} \right)}$$$ 和 $$$\operatorname{dv}=dx$$$。

则 $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(\frac{a^{2}}{x^{2}} \right)}\right)^{\prime }dx=- \frac{2}{x} dx$$$ (步骤见 »)，并且 $$$\operatorname{v}=\int{1 d x}=x$$$ (步骤见 »)。

该积分可以改写为

$${\color{red}{\int{\ln{\left(\frac{a^{2}}{x^{2}} \right)} d x}}}={\color{red}{\left(\ln{\left(\frac{a^{2}}{x^{2}} \right)} \cdot x-\int{x \cdot \left(- \frac{2}{x}\right) d x}\right)}}={\color{red}{\left(x \ln{\left(\frac{a^{2}}{x^{2}} \right)} - \int{\left(-2\right)d x}\right)}}$$

应用常数法则 $$$\int c\, dx = c x$$$，使用 $$$c=-2$$$：

$$x \ln{\left(\frac{a^{2}}{x^{2}} \right)} - {\color{red}{\int{\left(-2\right)d x}}} = x \ln{\left(\frac{a^{2}}{x^{2}} \right)} - {\color{red}{\left(- 2 x\right)}}$$

因此，

$$\int{\ln{\left(\frac{a^{2}}{x^{2}} \right)} d x} = x \ln{\left(\frac{a^{2}}{x^{2}} \right)} + 2 x$$

化简：

$$\int{\ln{\left(\frac{a^{2}}{x^{2}} \right)} d x} = x \left(\ln{\left(\frac{a^{2}}{x^{2}} \right)} + 2\right)$$

加上积分常数：

$$\int{\ln{\left(\frac{a^{2}}{x^{2}} \right)} d x} = x \left(\ln{\left(\frac{a^{2}}{x^{2}} \right)} + 2\right)+C$$

$$$\int \ln\left(\frac{a^{2}}{x^{2}}\right)\, dx = x \left(\ln\left(\frac{a^{2}}{x^{2}}\right) + 2\right) + C$$$A