$$$x e^{2} e^{x}$$$ 的积分

求$$$\int x e^{2} e^{x}\, dx$$$。

输入已重写为：$$$\int{x e^{2} e^{x} d x}=\int{x e^{x + 2} d x}$$$。

对于积分$$$\int{x e^{x + 2} d x}$$$，使用分部积分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

设 $$$\operatorname{u}=x$$$ 和 $$$\operatorname{dv}=e^{x + 2} dx$$$。

则 $$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$ (步骤见 »)，并且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{x + 2} d x}=e^{x + 2}$$$ (步骤见 »)。

该积分可以改写为

$${\color{red}{\int{x e^{x + 2} d x}}}={\color{red}{\left(x \cdot e^{x + 2}-\int{e^{x + 2} \cdot 1 d x}\right)}}={\color{red}{\left(x e^{x + 2} - \int{e^{x + 2} d x}\right)}}$$

设$$$u=x + 2$$$。

则$$$du=\left(x + 2\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = du$$$。

因此，

$$x e^{x + 2} - {\color{red}{\int{e^{x + 2} d x}}} = x e^{x + 2} - {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}$$

指数函数的积分为 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$x e^{x + 2} - {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = x e^{x + 2} - {\color{red}{e^{u}}}$$

回忆一下 $$$u=x + 2$$$:

$$x e^{x + 2} - e^{{\color{red}{u}}} = x e^{x + 2} - e^{{\color{red}{\left(x + 2\right)}}}$$

因此，

$$\int{x e^{x + 2} d x} = x e^{x + 2} - e^{x + 2}$$

化简：

$$\int{x e^{x + 2} d x} = \left(x - 1\right) e^{x + 2}$$

加上积分常数：

$$\int{x e^{x + 2} d x} = \left(x - 1\right) e^{x + 2}+C$$

$$$\int x e^{2} e^{x}\, dx = \left(x - 1\right) e^{x + 2} + C$$$A