Ολοκλήρωμα του $$$x e^{2} e^{x}$$$

Βρείτε $$$\int x e^{2} e^{x}\, dx$$$.

Η είσοδος επαναγράφεται: $$$\int{x e^{2} e^{x} d x}=\int{x e^{x + 2} d x}$$$.

Για το ολοκλήρωμα $$$\int{x e^{x + 2} d x}$$$, χρησιμοποιήστε την ολοκλήρωση κατά μέρη $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Έστω $$$\operatorname{u}=x$$$ και $$$\operatorname{dv}=e^{x + 2} dx$$$.

Τότε $$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$ (τα βήματα φαίνονται ») και $$$\operatorname{v}=\int{e^{x + 2} d x}=e^{x + 2}$$$ (τα βήματα φαίνονται »).

Επομένως,

$${\color{red}{\int{x e^{x + 2} d x}}}={\color{red}{\left(x \cdot e^{x + 2}-\int{e^{x + 2} \cdot 1 d x}\right)}}={\color{red}{\left(x e^{x + 2} - \int{e^{x + 2} d x}\right)}}$$

Έστω $$$u=x + 2$$$.

Τότε $$$du=\left(x + 2\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (τα βήματα παρουσιάζονται »), και έχουμε ότι $$$dx = du$$$.

Επομένως,

$$x e^{x + 2} - {\color{red}{\int{e^{x + 2} d x}}} = x e^{x + 2} - {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}$$

Το ολοκλήρωμα της εκθετικής συνάρτησης είναι $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$x e^{x + 2} - {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = x e^{x + 2} - {\color{red}{e^{u}}}$$

Θυμηθείτε ότι $$$u=x + 2$$$:

$$x e^{x + 2} - e^{{\color{red}{u}}} = x e^{x + 2} - e^{{\color{red}{\left(x + 2\right)}}}$$

Επομένως,

$$\int{x e^{x + 2} d x} = x e^{x + 2} - e^{x + 2}$$

Απλοποιήστε:

$$\int{x e^{x + 2} d x} = \left(x - 1\right) e^{x + 2}$$

Προσθέστε τη σταθερά ολοκλήρωσης:

$$\int{x e^{x + 2} d x} = \left(x - 1\right) e^{x + 2}+C$$

$$$\int x e^{2} e^{x}\, dx = \left(x - 1\right) e^{x + 2} + C$$$A