$$$- 2 x + x e^{3}$$$ 的积分

求$$$\int \left(- 2 x + x e^{3}\right)\, dx$$$。

逐项积分：

$${\color{red}{\int{\left(- 2 x + x e^{3}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{2 x d x} + \int{x e^{3} d x}\right)}}$$

对 $$$c=2$$$ 和 $$$f{\left(x \right)} = x$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$：

$$\int{x e^{3} d x} - {\color{red}{\int{2 x d x}}} = \int{x e^{3} d x} - {\color{red}{\left(2 \int{x d x}\right)}}$$

应用幂法则 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，其中 $$$n=1$$$：

$$\int{x e^{3} d x} - 2 {\color{red}{\int{x d x}}}=\int{x e^{3} d x} - 2 {\color{red}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}}}=\int{x e^{3} d x} - 2 {\color{red}{\left(\frac{x^{2}}{2}\right)}}$$

对 $$$c=e^{3}$$$ 和 $$$f{\left(x \right)} = x$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$：

$$- x^{2} + {\color{red}{\int{x e^{3} d x}}} = - x^{2} + {\color{red}{e^{3} \int{x d x}}}$$

应用幂法则 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，其中 $$$n=1$$$：

$$- x^{2} + e^{3} {\color{red}{\int{x d x}}}=- x^{2} + e^{3} {\color{red}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}}}=- x^{2} + e^{3} {\color{red}{\left(\frac{x^{2}}{2}\right)}}$$

因此，

$$\int{\left(- 2 x + x e^{3}\right)d x} = - x^{2} + \frac{x^{2} e^{3}}{2}$$

化简：

$$\int{\left(- 2 x + x e^{3}\right)d x} = \frac{x^{2} \left(-2 + e^{3}\right)}{2}$$

加上积分常数：

$$\int{\left(- 2 x + x e^{3}\right)d x} = \frac{x^{2} \left(-2 + e^{3}\right)}{2}+C$$

$$$\int \left(- 2 x + x e^{3}\right)\, dx = \frac{x^{2} \left(-2 + e^{3}\right)}{2} + C$$$A