$$$e^{- 2 x^{2}}$$$ 的积分

求$$$\int e^{- 2 x^{2}}\, dx$$$。

设$$$u=\sqrt{2} x$$$。

则$$$du=\left(\sqrt{2} x\right)^{\prime }dx = \sqrt{2} dx$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = \frac{\sqrt{2} du}{2}$$$。

该积分可以改写为

$${\color{red}{\int{e^{- 2 x^{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sqrt{2} e^{- u^{2}}}{2} d u}}}$$

对 $$$c=\frac{\sqrt{2}}{2}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = e^{- u^{2}}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{\sqrt{2} e^{- u^{2}}}{2} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{2} \int{e^{- u^{2}} d u}}{2}\right)}}$$

该积分（误差函数）没有闭式表达式：

$$\frac{\sqrt{2} {\color{red}{\int{e^{- u^{2}} d u}}}}{2} = \frac{\sqrt{2} {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(u \right)}}{2}\right)}}}{2}$$

回忆一下 $$$u=\sqrt{2} x$$$:

$$\frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{4} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left({\color{red}{\sqrt{2} x}} \right)}}{4}$$

因此，

$$\int{e^{- 2 x^{2}} d x} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(\sqrt{2} x \right)}}{4}$$

加上积分常数：

$$\int{e^{- 2 x^{2}} d x} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(\sqrt{2} x \right)}}{4}+C$$

$$$\int e^{- 2 x^{2}}\, dx = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(\sqrt{2} x \right)}}{4} + C$$$A