$$$e^{- 2 x^{2}}$$$の積分

$$$\int e^{- 2 x^{2}}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=\sqrt{2} x$$$ とする。

すると $$$du=\left(\sqrt{2} x\right)^{\prime }dx = \sqrt{2} dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = \frac{\sqrt{2} du}{2}$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$${\color{red}{\int{e^{- 2 x^{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sqrt{2} e^{- u^{2}}}{2} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{\sqrt{2}}{2}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{- u^{2}}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{\sqrt{2} e^{- u^{2}}}{2} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{2} \int{e^{- u^{2}} d u}}{2}\right)}}$$

この積分（誤差関数）には閉形式はありません:

$$\frac{\sqrt{2} {\color{red}{\int{e^{- u^{2}} d u}}}}{2} = \frac{\sqrt{2} {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(u \right)}}{2}\right)}}}{2}$$

次のことを思い出してください $$$u=\sqrt{2} x$$$:

$$\frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{4} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left({\color{red}{\sqrt{2} x}} \right)}}{4}$$

したがって、

$$\int{e^{- 2 x^{2}} d x} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(\sqrt{2} x \right)}}{4}$$

積分定数を加える:

$$\int{e^{- 2 x^{2}} d x} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(\sqrt{2} x \right)}}{4}+C$$

$$$\int e^{- 2 x^{2}}\, dx = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(\sqrt{2} x \right)}}{4} + C$$$A