$$$\cos{\left(4 y \right)}$$$ 的积分

求$$$\int \cos{\left(4 y \right)}\, dy$$$。

设$$$u=4 y$$$。

则$$$du=\left(4 y\right)^{\prime }dy = 4 dy$$$ (步骤见»)，并有$$$dy = \frac{du}{4}$$$。

所以，

$${\color{red}{\int{\cos{\left(4 y \right)} d y}}} = {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{4} d u}}}$$

对 $$$c=\frac{1}{4}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{4} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{4}\right)}}$$

余弦函数的积分为 $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$：

$$\frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}}}{4} = \frac{{\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}{4}$$

回忆一下 $$$u=4 y$$$:

$$\frac{\sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}{4} = \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(4 y\right)}} \right)}}{4}$$

因此，

$$\int{\cos{\left(4 y \right)} d y} = \frac{\sin{\left(4 y \right)}}{4}$$

加上积分常数：

$$\int{\cos{\left(4 y \right)} d y} = \frac{\sin{\left(4 y \right)}}{4}+C$$

$$$\int \cos{\left(4 y \right)}\, dy = \frac{\sin{\left(4 y \right)}}{4} + C$$$A