$$$\cos{\left(4 y \right)}$$$の積分

$$$\int \cos{\left(4 y \right)}\, dy$$$ を求めよ。

$$$u=4 y$$$ とする。

すると $$$du=\left(4 y\right)^{\prime }dy = 4 dy$$$（手順は»で確認できます）、$$$dy = \frac{du}{4}$$$ となります。

積分は次のようになります

$${\color{red}{\int{\cos{\left(4 y \right)} d y}}} = {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{4} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{4}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{4} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{4}\right)}}$$

余弦の積分は$$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}}}{4} = \frac{{\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}{4}$$

次のことを思い出してください $$$u=4 y$$$:

$$\frac{\sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}{4} = \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(4 y\right)}} \right)}}{4}$$

したがって、

$$\int{\cos{\left(4 y \right)} d y} = \frac{\sin{\left(4 y \right)}}{4}$$

積分定数を加える:

$$\int{\cos{\left(4 y \right)} d y} = \frac{\sin{\left(4 y \right)}}{4}+C$$

$$$\int \cos{\left(4 y \right)}\, dy = \frac{\sin{\left(4 y \right)}}{4} + C$$$A