$$$5^{- n}$$$ 的积分

求$$$\int 5^{- n}\, dn$$$。

设$$$u=- n$$$。

则$$$du=\left(- n\right)^{\prime }dn = - dn$$$ (步骤见»)，并有$$$dn = - du$$$。

该积分可以改写为

$${\color{red}{\int{5^{- n} d n}}} = {\color{red}{\int{\left(- 5^{u}\right)d u}}}$$

对 $$$c=-1$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = 5^{u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$${\color{red}{\int{\left(- 5^{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{5^{u} d u}\right)}}$$

Apply the exponential rule $$$\int{a^{u} d u} = \frac{a^{u}}{\ln{\left(a \right)}}$$$ with $$$a=5$$$:

$$- {\color{red}{\int{5^{u} d u}}} = - {\color{red}{\frac{5^{u}}{\ln{\left(5 \right)}}}}$$

回忆一下 $$$u=- n$$$:

$$- \frac{5^{{\color{red}{u}}}}{\ln{\left(5 \right)}} = - \frac{5^{{\color{red}{\left(- n\right)}}}}{\ln{\left(5 \right)}}$$

因此，

$$\int{5^{- n} d n} = - \frac{5^{- n}}{\ln{\left(5 \right)}}$$

加上积分常数：

$$\int{5^{- n} d n} = - \frac{5^{- n}}{\ln{\left(5 \right)}}+C$$

$$$\int 5^{- n}\, dn = - \frac{5^{- n}}{\ln\left(5\right)} + C$$$A