$$$5^{- n}$$$の積分

$$$\int 5^{- n}\, dn$$$ を求めよ。

$$$u=- n$$$ とする。

すると $$$du=\left(- n\right)^{\prime }dn = - dn$$$（手順は»で確認できます）、$$$dn = - du$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{5^{- n} d n}}} = {\color{red}{\int{\left(- 5^{u}\right)d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=-1$$$ と $$$f{\left(u \right)} = 5^{u}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\left(- 5^{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{5^{u} d u}\right)}}$$

Apply the exponential rule $$$\int{a^{u} d u} = \frac{a^{u}}{\ln{\left(a \right)}}$$$ with $$$a=5$$$:

$$- {\color{red}{\int{5^{u} d u}}} = - {\color{red}{\frac{5^{u}}{\ln{\left(5 \right)}}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=- n$$$:

$$- \frac{5^{{\color{red}{u}}}}{\ln{\left(5 \right)}} = - \frac{5^{{\color{red}{\left(- n\right)}}}}{\ln{\left(5 \right)}}$$

したがって、

$$\int{5^{- n} d n} = - \frac{5^{- n}}{\ln{\left(5 \right)}}$$

積分定数を加える:

$$\int{5^{- n} d n} = - \frac{5^{- n}}{\ln{\left(5 \right)}}+C$$

$$$\int 5^{- n}\, dn = - \frac{5^{- n}}{\ln\left(5\right)} + C$$$A