$$$- a^{2} x^{2} + 1$$$ 关于$$$x$$$的积分

求$$$\int \left(- a^{2} x^{2} + 1\right)\, dx$$$。

逐项积分：

$${\color{red}{\int{\left(- a^{2} x^{2} + 1\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{1 d x} - \int{a^{2} x^{2} d x}\right)}}$$

应用常数法则 $$$\int c\, dx = c x$$$，使用 $$$c=1$$$：

$$- \int{a^{2} x^{2} d x} + {\color{red}{\int{1 d x}}} = - \int{a^{2} x^{2} d x} + {\color{red}{x}}$$

对 $$$c=a^{2}$$$ 和 $$$f{\left(x \right)} = x^{2}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$：

$$x - {\color{red}{\int{a^{2} x^{2} d x}}} = x - {\color{red}{a^{2} \int{x^{2} d x}}}$$

应用幂法则 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，其中 $$$n=2$$$：

$$- a^{2} {\color{red}{\int{x^{2} d x}}} + x=- a^{2} {\color{red}{\frac{x^{1 + 2}}{1 + 2}}} + x=- a^{2} {\color{red}{\left(\frac{x^{3}}{3}\right)}} + x$$

因此，

$$\int{\left(- a^{2} x^{2} + 1\right)d x} = - \frac{a^{2} x^{3}}{3} + x$$

加上积分常数：

$$\int{\left(- a^{2} x^{2} + 1\right)d x} = - \frac{a^{2} x^{3}}{3} + x+C$$

$$$\int \left(- a^{2} x^{2} + 1\right)\, dx = \left(- \frac{a^{2} x^{3}}{3} + x\right) + C$$$A